Des bornes mathématiques de l'antiquité

Depuis que l'humanité a commencé à poser des questions au sujet du monde qui l'entourait, il y a eu une branche scientifique toujours présente : les mathématiques. Aujourd'hui beaucoup de gens la trouvent comme quelque chose peu utile ou ennuyeuse, mais pas tout à fait plus loin de la réalité. En fait, avec des mathématiques assez simples et avec beaucoup un génie nos anciens sont arrivés à calculer une certaine grandeur physique que beaucoup de gens aujourd'hui ils ne pourraient pas même n'imaginer. Pour cette entrée pour le Carnaval des Mathématiques, organisé par Tito Eliatron, nous allons voir déjà deux de ces bornes mathématiques obtenues par l'humanité il y a millénaires : le calcul du rayon de la Terre et le calcul de la distance et la taille de la Lune.

Un calcul du rayon de la Terre

Il courait le IIIe siècle av. JC. quand le philosophe, l'astronome et le mathématicien Eratóstenes a conçu une méthode pour le calcul du rayon de la Terre, basé sur la trigonométrie. Le jour choisi pour la mesure à partir de laquelle obtenir les données nécessaires a été à midi d'un solstice d'été. Par les manuscrits de sa bibliothèque, Eratóstenes savait que dans Siena (actuellement Asuán) les objets ne projetaient pas d'ombre à midi du solstice d'été; c'est-à-dire, la ville se trouve au Tropique du Cancer. Cela découle de ce que les rayons du Soleil tombent d'une forme perpendiculaire à la surface et c'est pourquoi, l'ombre est juste au-dessous de l'objet : il n'y a pas de projection visible. L'un de ses domestiques s'est déplacé vers Siena pour réaliser la vérification, tandis qu'il restait à Alexandrie pour faire la même expérience là. Le résultat : à Alexandrie, à la même heure, les objets oui qui projetaient une petite ombre.

La projection précitée était d'encore quelque chose de 7 degrés. En supposant maintenant que les rayons du Soleil qui arrivent à la Terre soient parallèles et que Siena et Alexandrie soient dans la même longitude (ils sont éloignés seulement 3e), et en sachant la distance entre les deux villes il était simple d'arriver à calculer le rayon terrestre. Différentes histoires existent sur comment Eratóstenes savait la distance entre les deux villes, comme lesquelles il a envoyé un domestique en comptant les pas, ou lesquelles a utilisées l'estimation des caravanes de commerce; mais le réellement important consiste en ce qu'il avait une valeur de 5000 stades (785 kms). Une divergence existe aussi dans la longitude d'un stade puisque la définition est différente pour un stade de 185 mètres ou le stade égyptien de 157 mètres, mais c'est celui de moins. Ce qui est clair consiste en ce qu'il a déduit que la circonférence de la Terre était de 250000 stades (39250 kms) de la forme suivante :

• Nous avons que pour 7 degrés, la distance est de 5000 stades.
• 7 degrés il entre 50 fois dans 360 degrés que c'est la circonférence complète.
• Donc, si nous multiplions 5000 stades par 50 nous aurons le périmètre de la circonférence. Le périmètre est 250000 stades.
• Pour trouver le rayon nous devrons seulement diviser le périmètre par 2 π. C'est pourquoi le rayon est 39800 stades, ou ce qui est le même presque 6250 kms.

Aujourd'hui nous savons que le rayon moyen de la Terre est de 6371 kms, donc l'erreur commise par Eratóstenes a été de seulement 120 kms : un peu moins de 2 %. C'est toute une réussite pour réaliser un calcul si précis d'une forme si apparemment rudimentaire.

Un calcul de la distance et la taille de la Lune

La borne suivante est celui de la mesure de la distance et de la taille de notre Lune. L'auteur a été Aristarco de Samos, aussi l'astronome et le mathématicien grec, au IIIe siècle à. C. Pour cela il a aussi utilisé une trigonométrie assez simple, mais avec quelques résultats d'une façon surprenante précis.

Tout a commencé avec l'observation d'une éclipse lunaire. Aristarco a déterminé que le temps que tardait la Lune à se cacher par l'ombre qui projetait la Terre pendant l'éclipse était à peu près la moitié du temps que durait l'éclipse précitée. Donc, le diamètre de l'ombre était environ deux fois le diamètre de la Lune. Une autre chose qu'il a déterminée consiste en ce que la Lune tardait prés d'une heure à sortir de l'ombre de la Terre, d'où on déduit que la Lune parcourt à une heure une distance équivalente à son propre diamètre.

D'un autre côté, il était connu que notre satellite tarde 29,5 jours à compléter une orbite autour de la Terre, donc il est simple de démontrer que l'orbite de la Lune est de 708 diamètres lunaires. Et par une trigonométrie simple, il a estimé la distance de la Terre à la Lune par 225,4 rayons lunaires.

De la figure supérieure, Aristarco a cru grâce à une trigonométrie que le rayon de la Terre est 2,85 fois le rayon de la Lune, quand le résultat est de 3,66 fois. En sachant le rayon, la Terre a simplement calculé la distance la Lune en appliquant le résultat précédent dont cette distance étaient 225,4 rayons lunaires. Le résultat qu'il a obtenu a été de 79 fois le rayon de la Terre, quand aujourd'hui nous savons que la distance à la Lune est d'environ 60 rayons terrestres.

Aristarco a aussi essayé de calculer la distance de la Terre au Soleil, mais il a échoué dans sa tentative, en donnant un résultat (19 fois la distance de la Terre à la Lune) complètement erroné.

Comme vous pouvez voir, les résultats d'Aristarco sont un peu pires en ce qui concerne la précision qui ceux d'Eratóstenes, mais le certain consiste en ce que dans les deux cas c'est surprenant comme le génie humain il peut arriver à résoudre des problèmes aussi complexes que le savoir le rayon de notre planète ou la distance à laquelle se trouve notre Lune et le grand qui est. Et ce qui est plus important : ce sont deux bornes mathématiques qui se sont rendues au IIIe siècle av. JC. en appliquant des mathématiques complètement basiques.

Des saluts